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  • 设f（logax）=a(x2-1)x(a2-1)，(a＞0，a≠1)求证：（1）过函数y=f（x）图象上任意两点直线的斜率恒大于0；（2）f（3）＞3．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设f（logax）=
      a(x2-1)
      x(a2-1)
      ，(a＞0，a≠1)
      求证：
      （1）过函数y=f（x）图象上任意两点直线的斜率恒大于0；
      （2）f（3）＞3．

      试题解答

      见解析
      证明：（1）令t=logax，则x=at，f（t）=
      a
      a2-1
      (at-a-t)（t∈R），
      ∴f（x）=
      a
      a2-1
      (ax-a-x)（x∈R），
      设x      1＜x2，f（x1）-f（x2）=
      a(ax1-ax2)(ax1+x2+1)
      (a2-1)ax1+x2
      ，
      （1）当a＞1时，因为x      10，ax1-ax2＜0，
      所以f（x      1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
      ∴f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；
      （2）当0＜a＜1时，因为a      2-1＜0，ax1-ax2＞0，
      所以f（x      1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
      ∴f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；
      ∴x      1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），∴K=
      f(x1)-f(x2)
      x1-x2
      ＞0，
      故过函数y=f（x）图象上任意两点直线的斜率恒大于0；
      （2）f（3）=
      a
      a2-1
      (a3-a-3)=
      a(a6-1)
      a3(a2-1)
      =
      a4+a2+1
      a2
      =a2+
      1
      a2
      +1≥2
      √a2?
      1
      a2
      +1=3，
      ∵a＞0，a≠1，∴      a2≠
      1
      a2
      ，∴上述不等式不能取等号，
      ∴f（3）＞3．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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