见解析
解：（1）∵函数f（x）=x3+x的定义域为R，关于原点对称
又∵f（-x）=（-x）3+（-x）=-（x3+x）=-f（x）
∴f（x）为奇函数，
又∵y=x3在R上单调递增，y=x在R上单调递增
∴f（x）=x3+x在定义域R上也为增函数．
（2）由a+b＞0，得a＞-b，故f（a）＞f（-b）=-f（b），于是f（a）+f（b）＞0．
同理，f（b）+f（c）＞0，f（c）+f（a）＞0．
故f（a）+f（b）+f（b）+f（c）+f（c）+f（a）＞0，即有f（a）+f（b）+f（c）＞0．
