设函数f（x）=kax-a-x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）若f（1）＞0，试求不等式f（x2+2x）+f（x-4）＞0的解集；（2）若f（1）=32，且g（x）=a2x+a-2x-2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为-2，求m的值．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

设函数f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．
（1）若f（1）＞0，试求不等式f（x²+2x）+f（x-4）＞0的解集；
（2）若f（1）=

，且g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为-2，求m的值．

见解析

解：（1）∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，可k-1=0，即k=1，
故f（x）=a^x-a^-x（a＞0，且a≠1）
∵f（1）＞0，∴a-

＞0，又a＞0且a≠1，∴a＞1．
f′（x）=a^xlna+

lna

a^x

∵a＞1，∴lna＞0，而a^x+

a^x

＞0，
∴f′（x）＞0，∴f（x）在R上单调递增
原不等式化为：f（x²+2x）＞f（4-x），
∴x²+2x＞4-x，即x²+3x-4＞0
∴x＞1或x＜-4，
∴不等式的解集为{x|x＞1或x＜-4}．
（2）∵f（1）=

，∴a-

，即2a²-3a-2=0，∴a=2或a=-

（舍去）．
∴g（x）=2^2x+2^-2x-2m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-2m（2^x-2^-x）+2．
令t=f（x）=2^x-2^-x，由（1）可知f（x）=2^x-2^-x为增函数
∵x≥1，∴t≥f（1）=

，
令h（t）=t²-2mt+2=（t-m）²+2-m²　（t≥

）
若m≥

，当t=m时，h（t）_min=2-m²=-2，∴m=2
若m＜

，当t=

时，h（t）_min=

-3m=-2，
解得m=

＞

，舍去
综上可知m=2．

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