已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2-kx3．（k≥0）（Ⅰ）求g（x）的解析式；（Ⅱ）讨论函数f（x）在区间（-∞，0）上的单调性；（Ⅲ）若k=13，设g（x）是函数f（x）在区间[0，+∞）上的导函数，问是否存在实数a，满足a＞1并且使g（x）在区间[12，a]上的值域为[1a，1]，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x²-kx³．（k≥0）
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）讨论函数f（x）在区间（-∞，0）上的单调性；
（Ⅲ）若k=

，设g（x）是函数f（x）在区间[0，+∞）上的导函数，问是否存在实数a，满足a＞1并且使g（x）在区间[

，a]上的值域为[

，1]，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

见解析

解：（Ⅰ）∵f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x²-kx³
∴当x＜0时，-x＞0，f（x）=-f（-x）=-（x²+kx³）
∴f(x)=

{	x²-kx³(x≥0) -x²-kx³(x＜0)

（Ⅱ）由（Ⅰ）知当x∈（-∞，0）时，f（x）=-x²-kx³
当k=0时，f'（x）=-2x，在区间（-∞，0）上，f'（x）＞0，f（x）是增函数．
当k≠0∴f′(x)=-2x-kx²，令f′(x)=-2x-kx²=0得x=-

或x=0
∴在区间(-∞，-

)上，f′(x)＜0，f(x)是减函数；
在区间（-

，0）上，f'（x）＞0，f（x）是增函数．
（Ⅲ）∵k=

，当x≥0时，f(x)=x²-

x³
∴g（x）=f'（x）=2x-x²=-（x-1）²+1，
又∵a＞1．
∴g(x)在区间[

，a]上，当x=1时g（x）取得最大值1
当1＜a≤

时，g(x)_min=g(

，由

得：a=

3．

当a＞

时，g(x)_min=g(a)=2a-a²，
由2a-a²=

解得：a=

√5

或a=

√5

（舍）或a=1（舍）
∴存在满足题意的实数a=

或a=

√5

．

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