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  • 设定义在R上的函数f（x）=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4（a0，a1，a2，a3，a4∈R），当x=-1时f（x）取得极大值23，且函数y=f（x+1）的图象关于点（-1，0）对称．（1）求函数f（x）的表达式；（2）试在函数y=f（x）的图象上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间[-√2，√2]上．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设定义在R上的函数f（x）=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4（a0，a1，a2，a3，a4∈R），当x=-1时f（x）取得极大值
      2
      3
      ，且函数y=f（x+1）的图象关于点（-1，0）对称．
      （1）求函数f（x）的表达式；
      （2）试在函数y=f（x）的图象上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间[-
      √2
      ，
      √2
      ]上．

      试题解答

      见解析
      解：（1）将函数y=f（x+1）的图象向右平移一个单位，得到函数y=f（x）的图象，
      ∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，即函数y=f（x）???奇函数，
      ∴f（x）=a      1x3+a3x
      ∴f      ′（x）=3a1x2+a3
      由题意得：
      {
      f′(-1)=3a1+a3=0
      f (-1)=-a1-a3=
      2
      3

      所以
      {
      a1=
      1
      3
      a3=-1
      ，f(x)=
      1
      3
      x3-x经检验满足题意
      （2）由（1）可得f      ′（x）=x2-1
      故设所求两点为(x      1，f(x1))，(x2，f(x2))(x1，x2∈ [-
      √2
      ，
      √2
      ])
      f      ′（x1）?f′（x2）=（x12-1）（x22-1）=-1
      ∵x      12-1，x22-1∈[-1，1]
      ∴
      {
      x
      2
      2
      -1=-1
      x
      2
      1
      -1=-1
      或
      {
      x
      2
      1
      -1=1
      x
      2
      2
      -1=-1

      {
      x1= 0
      x2=±
      √2
      或
      {
      x1=±
      √2
      x2= 0

      ∴满足条件的两点的坐标为：
      （0，0），(
      √2
      ，-
      √2
      3
      )或(0，0) ，(-
      √2
      ，-
      √2
      3
      )
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