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  • 已知函数f(x)=mx2+23x+n是奇函数，且f(2)=53．（Ⅰ）求实数m和n的值；（Ⅱ）判断函数f（x）在（-∞，-1]上的单调性，并加以证明．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=
      mx2+2
      3x+n
      是奇函数，且f(2)=
      5
      3
      ．
      （Ⅰ）求实数m和n的值；
      （Ⅱ）判断函数f（x）在（-∞，-1]上的单调性，并加以证明．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）∵函数f(x)=
      mx2+2
      3x+n
      是奇函数
      ∴f（-x）=-f（x）
      ∴
      mx2+2
      -3x+n
      =-
      mx2+2
      3x+n
      =
      mx2+2
      -3x-n

      ∴n=0
      ∵f(2)=
      5
      3
      ．
      ∴
      4m+2
      6
      =
      5
      3

      ∴m=2
      （II）函数f（x）在（-∞，-1]上是增函数
      证明：任取      x1 ＜x2＜-1，f(x1) -f(x2) =
      2
      3
      (x1+
      1
      x1
      )-
      2
      3
      (x2+
      1
      x2
      )=
      2
      3
      (x1-x2) (x1x2-1)
      x1x2
      ∵x1＜x2＜-1，∴x1-x2＜0，x1x2-1＞0
      ∴f（x      1）-f（x2）＜0
      ∴f（x      1）＜f（x2）
      ∴函数f（x）在（-∞，-1]上是增函数
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