已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=-7xx2+x+1．（1）求当x＜0时f（x）的解析式；（2）试确定函数f（x）（x≥0）的单调区间，并证明你的结论；（3）若x1≥2，x2≥2且x1≠x2，证明：|f（x1）-f（x2）|＜2．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=-

x²+x+1

．
（1）求当x＜0时f（x）的解析式；
（2）试确定函数f（x）（x≥0）的单调区间，并证明你的结论；
（3）若x₁≥2，x₂≥2且x₁≠x₂，证明：|f（x₁）-f（x₂）|＜2．

试题解答

见解析

解：（1）若x＜0，则-x＞0，
∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（x）=f（-x）=

x²-x+1

（x＜0）（3分）
（2）当x≥0时，f'（x）=

7(x+1)(x-1)

(x²+x+1)²

．（6分）
显然当0＜x＜1时，f'（x）＜0；
当x＞1时，f'（x）＞0，又f（x）在x=0和x=1处连续，
∴函数f（x）在[0，1]上为减函数，在[1，+∞）上为增函数．（8分）
（3）证明：∵函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，且f（x）＜0，
∴当x≥2时，有0＞f（x）≥f（2）=-2．（10分）
又当x₁，x₂≥2时，得-2＜f（x₁）＜0且-2＜f（x₂）＜0，即0＜-f（x₂）＜2
∴-2＜f（x₁）-f（x₂）＜2即得：|f（x₁）-f（x₂）|＜2．（12分）

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必修1 人教A版单选题高中数学

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