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  • 已知函数的定义域为R，对任意的x1，x2都满足f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），当x＞0时，f（x）＞0．（I）试判断并证明f（x）的奇偶性；（II）试判断并证明f（x）的单调性；（III）若f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)＞0对所有的θ∈[0，π2]均成立，求实数m 的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数的定义域为R，对任意的x1，x2都满足f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），当x＞0时，f（x）＞0．
      （I）试判断并证明f（x）的奇偶性；
      （II）试判断并证明f（x）的单调性；
      （III）若f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)＞0对所有的θ∈[0，
      π
      2
      ]均成立，求实数m 的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（I）∵f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），令x1=x2=0得f（0）=0．
      再令x      1=x，x2=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）=0，∴f（-x）=-f（x）．
      ∴f（x）为R上的奇函数．
      （II）设x      1＜x2，则x2-x1＞0，当x＞0时f（x）＞0．∴f（x2-x1）＞0
      由f（x      2）-f（x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2-x1）＞0，
      ∴f（x      2）＞f（x1）
      ∴f（x）为R上的增函数．
      （III）∵f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞0，∴f（cos2θ-3）＞-f（4m-2mcosθ）
      ∵f（x）为R上的奇函数，，即f（-x）=-f（x），∴f（cos2θ-3）＞f（2mcosθ-4m）
      又∵f（x）为R上的增函数，cos2θ-3＞2mcosθ-4m对所有的θ∈[0，
      π
      2
      ]均成立，2cos2θ-4＞2m（cosθ-2）恒成立，
      又∵cosθ-2＜0，
      ∴m＞
      cos2θ-2
      cosθ-2
      恒成立，
      又∵
      cos2θ-2
      cosθ-2
      =
      cos2θ-4+2
      cosθ-2
      =cosθ-2+
      2
      cosθ-2
      +4，又θ∈[0，
      π
      2
      ]，
      ∴0≤cosθ≤1，∴cosθ-2＜0，
      ∴cosθ-2+
      2
      cosθ-2
      +4≤4-4
      √2

      当且仅当cosθ-2=
      2
      cosθ-2
      即cosθ=2-
      √2
      时取等号．
      ∴[
      cos2θ-2
      cosθ-2
      ]max=4-2
      √2

      ∴m＞4-2
      √2
      ．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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