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已知函数f(x)=x+b1+x2为奇函数.(I)证明:函数f(x)在区间(1,+∞)上是减函数;(II)解关于x的不等式f(1+2x2)+f(-x2+2x-4)>0.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知函数f(x)=
x+b
1+x
2
为奇函数.
(I)证明:函数f(x)在区间(1,+∞)上是减函数;
(II)解关于x的不等式f(1+2x
2
)+f(-x
2
+2x-4)>0.
试题解答
见解析
解:(I)∵函数f(x)=
x+b
1+x
2
为定义在R上的奇函数,
∴f(0)=0,即b=0,
∴函数解析式为:f(x)=
x
x
2
+1
.
∴对f(x)求导数,得f′(x)=
(x
2
+1)-x?2x
(x
2
+1)
2
=
1-x
2
(x
2
+1)
2
.
∵当x>1时,f′(x)=
1-x
2
(x
2
+1)
2
<0成立,
∴函数f(x)在区间(1,+∞)上是减函数.
(II)由f(1+2x
2
)+f(-x
2
+2x-4)>0,得f(1+2x
2
)>-f(-x
2
+2x-4).
∵f(x)是奇函数,
∴-f(-x
2
+2x-4)=f(x
2
-2x+4).
原不等式化为:f(1+2x
2
)>f(x
2
-2x+4).
又∵1+2x
2
≥1,x
2
-2x+4=(x-1)
2
+3>1,且f(x)在[1,+∞)上为减函数,
∴1+2x
2
<x
2
-2x+4,即x
2
+2x-3<0,
解之得-3<x<1.
∴不等式f(1+2x
2
)+f(-x
2
+2x-4)>0的解集是{x|-3<x<1}
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集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集
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第1章 集合
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集合的表示法
集合的分类
集合的含义
集合的确定性、互异性、无序性
元素与集合关系的判断
第3章 指数函数和对数函数
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正整数指数函数
第4章 函数应用
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