设a是实数，f(x)=a-22x+1(x∈R)．（1）若函数f（x）为奇函数，求a的值；（2）试证明：对于任意a，f（x）在R上为单调函数；（3）若函数f（x）为奇函数，且不等式f（k?3x）+f（3x-9x-2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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设a是实数，f(x)=a-

2^x+1

(x∈R)．
（1）若函数f（x）为奇函数，求a的值；
（2）试证明：对于任意a，f（x）在R上为单调函数；
（3）若函数f（x）为奇函数，且不等式f（k?3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

试题解答

见解析

解：（1）∵f(-x)=a-

2^-x+1

=a-

2?2^x

1+2^x

，且f（x）+f（-x）=0
∴2a-

2(1+2^x)

1+2^x

=0，∴a=1（注：通过f（0）=0求也同样给分）
（2）证明：设x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，则f(x₁)-f(x₂)=(a-

2^x₁+1

)-(a-

2^x₂+1

)
=

2^x₂+1

2^x₁+1

2(2^x₁-2^x₂)

(2^x₁+1)(2^x₂+1)

∵x₁＜x₂，∴(2^x₁-2^x₂)＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即∴f（x₁）＜f（x₂）
所以f（x）在R上为增函数．
（3）因为f（x）在R上为增函数且为奇函数，
由f（k?3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0得
f（k?3^x）＜-f（3^x-9^x-2）=f（-3^x+9^x+2）
∴k?3^x＜-3^x+9^x+2即3^2x-（1+k）3^x+2＞对任意x∈R恒成立，
令t=3^x＞0，问题等价于t²-（1+k）t+2＞0，其对称轴x=

k+1

当

k+1

＜0即k＜-1时，f（0）=2＞0，符合题意，
当

k+1

≥0即对任意t＞0，f（t）＞0恒成立，等价于

{

k+1

≥0

△=(1+k)²-8＜0

解得-1≤k＜-1+2

√2

综上所述，当k＜-1+2

√2

时，不等式f（k?3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0对任意x∈R恒成立．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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