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  • 已知函数f（x）=ax-a-x（a＞0且a≠1）．（I）证明函数f（x）是奇函数；（II）讨论函数f（x）的单调性，并加以证明；（III）是否存在实数a，使得函数f（x）在区间[1，2]上的最大值为32？若存在，求出a的值，若不存在请说明理由．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=ax-a-x（a＞0且a≠1）．
      （I）证明函数f（x）是奇函数；
      （II）讨论函数f（x）的单调性，并加以证明；
      （III）是否存在实数a，使得函数f（x）在区间[1，2]上的最大值为
      3
      2
      ？若存在，求出a的值，若不存在请说明理由．

      试题解答

      见解析
      解：（I）∵f（x）=ax-a-x，
      ∴f（-x）=a      -x-ax=-（ax-a-x）=-f（x）
      因此，函数f（x）是奇函数；
      （II）设x      1＜x2，可得
      f（x      1）-f（x2）=ax1-a-x1-（ax2-a-x2）=ax1-ax2+
      ax1-ax2
      ax1?ax2

      =（      ax1-ax2）（1+
      1
      ax1?ax2
      ）
      ∵1+
      1
      ax1?ax2
      ＞0，当a＞1时ax1-ax2＜0，而0＜a＜1时ax1-ax2＞0
      ∴当a＞1时f（x      1）-f（x2）＜0，函数f（x）是（-∞，+∞）上的增函数；
      当0＜a＜1时f（x      1）-f（x2）＞0，函数f（x）是（-∞，+∞）上的减函数
      （III）根据（II）的单调性，得
      ①当a＞1时，f（x）在区间[1，2]上的最大值为f（2）=
      3
      2

      即a      2-a-2=
      3
      2
      ，解之得a2=2（舍负），所以a=
      √2
      （舍负）
      ②当0＜a＜1时，f（x）在区间[1，2]上的最大值为f（1）=
      3
      2

      即a      1-a-1=
      3
      2
      ，解之得a=2不满足0＜a＜1，舍去
      综上所述，可得存在a=
      √2
      满足f（x）在区间[1，2]上的最大值为f（2）=
      3
      2
      ．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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