已知函数f（x）是区间D?[0，+∞）上的增函数，若f（x）可表示为f（x）=f1（x）+f2（x），且满足下列条件：①f1（x）是D上的增函数；②f2（x）是D上的减函数；③函数f2（x）的值域A?[0，+∞），则称函数f（x）是区间D上的“偏增函数”．（1）（i）问函数y=sinx+cosx是否是区间(0，π4)上的“偏增函数”？并说明理由；（ii）证明函数y=sinx是区间(0，π4)上的“偏增函数”．（2）证明：对任意的一次函数f（x）=kx+b（k＞0），必存在一个区间D?[0，+∞），使f（x）为D上的“偏增函数”．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f（x）是区间D?[0，+∞）上的增函数，若f（x）可表示为f（x）=f₁（x）+f₂（x），且满足下列条件：①f₁（x）是D上的增函数；②f₂（x）是D上的减函数；③函数f₂（x）的值域A?[0，+∞），则称函数f（x）是区间D上的“偏增函数”．
（1）（i）问函数y=sinx+cosx是否是区间(0，

)上的“偏增函数”？并说明理由；
（ii）证明函数y=sinx是区间(0，

)上的“偏增函数”．
（2）证明：对任意的一次函数f（x）=kx+b（k＞0），必存在一个区间D?[0，+∞），使f（x）为D上的“偏增函数”．

试题解答

见解析

（1）解：（i） y=sinx+cosx是区间(0，

)上的“偏增函数”．
记f₁（x）=sinx，f₂（x）=cosx，显然f₁（x）=sinx在(0，

)上单调递增，f₂（x）=cosx在(0，

)上单调递减，
且f₂（x）=cosx∈（

√2

，1）?[0，+∞），
又y=f(x)=sinx+cosx=

√2

sin(x+

)在(0，

)上单调递增，
故y=sinx+cosx是区间(0，

)上的“偏增函数”．
（ii）证明：y=sinx=(sinx-cosx)+cosx=

√2

sin(x-

)+cosx，
记f₁(x)=

√2

sin(x-

)，f₂(x)=cosx，
显然f₁(x)=

√2

sin(x-

)在(0，

)上单调递增，f₂（x）=cosx在(0，

)上单调递减，
且f₂（x）=cosx∈（

√2

，1）?[0，+∞），
又y=f（x）=f₁（x）+f₂（x）=sinx在(0，

)上单调递增，
故y=sinx是区间(0，

)上的“偏增函数”．
（2）证明：①当b＞0时，令f₁（x）=（k+1）x，f₂（x）=-x+b，D=（0，b），显然D=（0，b）?[0，+∞），
∵k＞0，∴f（x）=kx+b在（0，b）上单调递增，
f₁（x）=（k+1）x在（0，b）上单调递增，f₂（x）=-x+b在（0，b）上单调递减，
且对任意的x∈（0，b），b＞f₂（x）＞f₂（b）=0，
因此b＞0时，必存在一个区间（0，b），使f（x）=kx+b（k＞0）为D上的“偏增函数．
②当b≤0时，取c＞0，且满足c+b＞0，令f₁（x）=（k+1）x-c，f₂（x）=-x+b+c，D=（0，b+c）?[0，+∞），
显然，f（x）=kx+b在（0，b+c）上单调递增，
f₁（x）=（k+1）x-c在（0，b+c）上单调递增，f₂（x）=-x+b+c在（0，b+c）上单调递减，
且对任意的（0，b+c），b+c＞f₂（x）＞f₂（b+c）=0，
因此b≤0时，必存在一个区间（0，b+c），使f（x）=kx+b（k＞0）为D上的“偏增函数”．
综上，对任意的一次函数f（x）=kx+b（k＞0）???必存在一个区间D?[0，+∞），
使f（x）为D上的“偏增函数”．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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