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  • 已知函数f(x)=log2x-5x+5（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若f（a）=4，求a的值；（Ⅲ）判断并证明该函数的单调性．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=log2
      x-5
      x+5

      （Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
      （Ⅱ）若f（a）=4，求a的值；
      （Ⅲ）判断并证明该函数的单调性．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）对于函数f(x)=log2
      x-5
      x+5
      ，有
      x-5
      x+5
      ＞0，
      解可得x＜-5或x＞5．
      所以f（x）的定义域为（-∞，-5）∪（5，+∞）；
      （Ⅱ）f（a）=log      2
      a-5
      a+5
      =4，
      即
      a-5
      a+5
      =16，
      解可得，a=-
      17
      3
      ；
      （Ⅲ）f（x）在（5，+∞）和（-∞，-5）上是单调递增的．
      证明：由（Ⅰ）可得，函数的定义域为（-∞，-5）∪（5，+∞），关于原点对称；
      又有f(-x)=log      2
      -x-5
      -x+5
      =log2
      x+5
      x-5
      =log2(
      x-5
      x+5
      )-1=-log2
      x-5
      x+5
      =-f(x)
      则f（x）为奇函数，
      任取x      1，x2∈（5，+∞），且x1＜x2，则△x=x2-x1＞0，
      f（x      2）-f（x1）=log2
      x2-5
      x2+5
      -log2
      x1-5
      x1+5
      =log2（
      x2-5
      x2+5
      ÷
      x1-5
      x1+5
      ）=log2
      x1x2+5△x-25
      x1x2-5△x-25
      ；
      ∵△x=x      2-x1＞0，∴x1x2-25+5△x＞x1x2-25-5△x
      ∴
      x1x2-25+5(x2-x1)
      x1x2-25+5(x1-x2)
      ＞1，
      ∴log      2
      x1x2-25+5(x2-x1)
      x1x2-25+5(x1-x2)
      ＞0，
      即f（x      2）-f（x1）＞0
      由此证得f（x）在（5，+∞）上是单调递增的，
      又∵f（x）是奇函数，
      ∴f（x）在（-∞，-5）上也是单调递增的．
      ∴f（x）在（5，+∞）和（-∞，-5）上是单调递增的．
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