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  • 已知函数f（x）=x+1x．（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；（2）用定义证明f（x）在（0，1）上是减函数；（3）写出函数f（x）在整个定义域上的单调区间．（直接写出答案，不要求写证明过程）．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=x+
      1
      x
      ．
      （1）判断函数的奇偶性，并加以证明；
      （2）用定义证明f（x）在（0，1）上是减函数；
      （3）写出函数f（x）在整个定义域上的单调区间．（直接写出答案，不要求写证明过程）．

      试题解答

      见解析
      解：（1）函数为奇函数，
      证明：因为f（x）的定义域为{x|x≠0}，
      且f（-x）=-x-
      1
      x
      =-（x+
      1
      x
      ）=-f（x），
      所以f（x）为奇函数；
      （2）设x      1，x2∈（0，1）且设x1＜x2，
      则f（x      1）-f（x2）=（x1+
      1
      x1
      ）-（x2+
      1
      x2
      ）=
      (x1-x2)(x1x2-1)
      x1x2
      ，
      ∵0＜x      1＜x2＜1，∴0＜x1x2＜1，x1x2-1＜0，x1-x2＜0，
      ∴f（x      1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．
      所以函数f（x）在（0，1）上是减函数．
      （3）函数f（x）在（-∞，-1）上是增函数，在（-1，0）上是减函数，
      在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数．
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