已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时f（x）=2x-x2；（1）求函数f（x）的表达式；（2）若函数g（x）=f（x）+k-1有三个零点（注：零点是函数图象与x轴交点的横坐标），求K的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时f（x）=2x-x²；
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）若函数g（x）=f（x）+k-1有三个零点（注：零点是函数图象与x轴交点的横坐标），求K的取值范围．

见解析

解：（1）设x＜0，则-x＞0，
∴f（-x）=-2x-（-x）²=-2x-x²，
∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x）=2x+x²，
∴f(x)=

{	-x²+2x，x≥0 x²+2x，x＜0

；
（2）由（1）知f(x)=

{	-x²+2x，x≥0 x²+2x，x＜0

，
作出f（x）的图象：g（x）=f（x）+k-1有三个零点即f（x）=1-k有三个根，
∴函???y=f（x）与y=1-k的图象有三个交点，
根据图象可知-1＜1-k＜1，解得0＜k＜2，
∴k的取值范围是（0，2）．

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