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  • 如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，△ABC为边长为2的正三角形，点P在A1B上，且AB⊥CP．（1）证明：P为A1B中点；（2）若A1B⊥AC1，求三棱锥P-A1AC的体积．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，△ABC为边长为2的正三角形，点P在A1B上，且AB⊥CP．
      （1）证明：P为A      1B中点；
      （2）若A      1B⊥AC1，求三棱锥P-A1AC的体积．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）证明：取AB中点Q，
      ∴CQ⊥AB
      又∵AB⊥CP，∴AB⊥平面CPO
      ∴AB⊥QP
      ∴P为A      1B的中点（4分）
      （Ⅱ）连接AB      1，取AC中点R，连接A1R，
      则BR⊥平面A      1C1CA，由已知A1B⊥AC1，
      ∴A      1R⊥AC1，∴△AC1C～△A1RA
      ∴
      C1C
      AC
      =
      1
      2
      AC
      A1A
      ，∴AC=
      √2
      A1A（6分）
      则AA      1=
      √2
      ，则AC=2
      ∵      VP-A1AC=Vc-A1AP
      S△A      1AP=
      1
      2
      ?
      √2
      ?1=
      √2
      2

      ∴h=
      √3
      （10分）
      ∴      VP-A1AC=VC-A1AP=
      1
      3
      ?
      √2
      2
      √3
      =
      √6
      6
      （12分）
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      必修2人教A版解答题高中数学

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