在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，长度为b（b为定值且b＜a）的线段EF在面对角线A1C1上滑动，G是棱BB1上的动点（G不与端点B1、B重合），下列四个判断：①三棱柱ABC-A1B1C1的表面积是正方体ABCD-A1B1C1D1表面积的一半；②三棱锥B1-DEF的体积不变；③三棱锥G-ADD1的体积等于三棱锥B-A1AD1的体积；④正方体ABCD-A1B1C1D1外接球的表面积是3πa2．其中正确命题的个数是试题及答案-单选题-云返教育

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在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，长度为b（b为定值且b＜a）的线段EF在面对角线A₁C₁上滑动，G是棱BB₁上的动点（G不与端点B₁、B重合），下列四个判断：
①三棱柱ABC-A₁B₁C₁的表面积是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁表面积的一半；
②三棱锥B₁-DEF的体积不变；
③三棱锥G-ADD₁的体积等于三棱锥B-A₁AD₁的体积；
④正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁外接球的表面积是3πa²．
其中正确命题的个数是

试题解答

根据正方体的结构特征，以及几何体表面积、体积公式，结合等面积、等体积转化的方法，逐一考察各选项，作出判断．

①错．将正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁沿对角面ACC₁A₁切割，可分成两个全等的三棱柱，
三棱柱ABC-A₁B₁C₁与三棱柱ADC-A₁D₁C₁的，各自的体积为正方体的一半，但表面积是正方体表面积一半再加上截面ACC₁A₁的面积．
②对．V_B1-DEF=V_D-B1EF，底面△B₁EF的面积保持不变，顶点D到底面△B₁EF的距离为棱长a，也不变．所以体积不变．
③对．由正方体的结构特征，GB∥面ADD₁A₁，G、B到面ADD₁A₁的距离相等，即为棱长a．
三棱锥G-ADD₁和三棱锥B-A₁AD₁中由相等的底面：S_△ADD1=S_△A1AD1，有相等的高a，故三棱锥G-ADD₁的体积等于三棱锥B-A₁AD₁的体积．
④对．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁外接球的直径即为体对角线AC₁，半径长r=

AC₁=

，表面积S=4πr²=3πa²．
故选B

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必修2 人教A版单选题高中数学

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