下面有关四面体的命题：①每一个四面体都有唯一的外接球；②每一个四面体都有唯一的内切球；③每一个四面体都有唯一的与其六条棱都相切的球；④任何一个三棱柱都可以分解成三个等体积的四面体；⑤对任意一个四面体，存在一个顶点，使得从该点出发的三条棱作为边长可以构成一个三角形．其中正确命题的序号是．试题及答案-填空题-云返教育

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下面有关四面体的命题：
①每一个四面体都有唯一的外接球；
②每一个四面体都有唯一的内切球；
③每一个四面体都有唯一的与其六条棱都相切的球；
④任何一个三棱柱都可以分解成三个等体积的四面体；
⑤对任意一个四面体，存在一个顶点，使得从该点出发的三条棱作为边长可以构成一个三角形．
其中正确命题的序号是．

试题解答

①②④⑤

解：四面体一定有外接球和内切球，故①②都是真命题；
对于③，如图，若四面体中DA，DB，DC两两垂直，有一个球先与此三棱相切，再将此球的半径慢慢变大，直到与棱AB也相切，此时，该球不能与另两条侧棱AC，BC相切．故③不正确；
对于④：
如右图直三棱柱ABC-A′B′C′，连接A′B，B'C，CA′．
则截面A′CB与面A′CB′，将直三棱柱分割成三个三棱锥即A′-ABC，A′-BCB′，C-A′B′C′，且它的体积相等．故④正确；
对于⑤，利用反证法证明．
假设任意顶点的3条棱都不构成三角形，

设四面体ABCD最长边为AB=a，
设其邻边BC=b，BD=c，AD=d，AC=e
则由假设与AB的最长性质可知：a≥d+e（过顶点A），a≥b+c（过顶点B）
于是2a≥b+c+d+e，而由AB，BC，AC构成三角形知a＜b+e，
AB，BD，AD构成三角形知a＜c+d
于是2a＜b+c+d+e 矛盾！所以命题成立！故⑤正确．
故答案为：①②④⑤．

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