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  • 如图所示，正方形ABCD和正方形ABEF所在平面互相垂直，且它们的边长都是1，点M在AC上，点N在BF上，若CM=2BN=a(0＜a＜√2)．（1）求MN的长；（2）当a为何值时，MN最小，并求出最小值？（3）当MN最小时，求三棱锥M-ANB的体积．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      如图所示，正方形ABCD和正方形ABEF所在平面互相垂直，且它们的边长都是1，点M在AC上，点N在BF上，若CM=2BN=a(0＜a＜
      √2
      )．
      （1）求MN的长；
      （2）当a为何值时，MN最小，并求出最小值？
      （3）当MN最小时，求三棱锥M-ANB的体积．

      试题解答

      见解析
      解：（1）如图，建立平面直角坐标系；
      ∵正方形的边长为1，
      则A（1，0，0），B（0，0，0），C（0，0，1），E（0，1，0），F（1，1，0），
      由CM=2BN=a(0＜a＜
      √2
      )，在平面ABCD内作MQ⊥BC，MP⊥AB，垂足分别为Q，P，
      则CQ=MQ=
      a
      √2
      ，MP=1-
      a
      √2
      ，
      ∴M（
      a
      √2
      ，0，1-
      a
      √2
      ），N（
      a
      2
      √2
      ，
      a
      2
      √2
      ，0）；
      ∴MN=
      √(
      a
      √2
      -
      a
      2
      √2
      ) 2+(0-
      a
      2
      √2
      )2+(1-
      a
      2
      √2
      )2
      =
      1
      2
      √3(a-
      2
      √2
      3
      )2+
      4
      3
      ；

      （2）由（1）知，当a=
      2
      √2
      3
      时，MN有最小值，此时MN=
      1
      2
      ?
      √
      4
      3
      =
      √3
      3
      ；

      （3）在平面ABCD内，MP⊥AB，且平面ABCD⊥平面ABEF，
      ∴MP⊥平面ABEF；
      所以，三棱锥M-ABN的体积为：V=
      1
      3
      ?S△ABN?h
      =
      1
      3
      ?
      1
      2
      ?AB?BN?sin45°?MP
      =
      1
      3
      ?
      1
      2
      ?1?
      a
      2
      ?
      √2
      2
      ?(1-
      a
      √2
      )
      =
      √2
      a
      24
      (1-
      a
      √2
      )
      =
      √2
      24
      ?
      2
      √2
      3
      (1-
      1
      √2
      ?
      2
      √2
      3
      )
      =
      1
      54
      ．
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      必修3湘教版解答题高中数学

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