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  • 如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，AC⊥BC．侧面A1ABB1是边长为a的菱形，且垂直于底面ABC，∠A1AB=60°，E，F分别是AB1，BC的中点．（1）求证：直线EF∥平面A1ACC1；（2）在线段AB上确定一点G，使平面EFG⊥平面ABC，并给出证明；（3）记三棱锥A-BCE的体积为V，且V∈[32，12]，求a的取值范围．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，AC⊥BC．侧面A1ABB1是边长为a的菱形，且垂直于底面ABC，∠A1AB=60°，E，F分别是AB1，BC的中点．
      （1）求证：直线EF∥平面A      1ACC1；
      （2）在线段AB上确定一点G，使平面EFG⊥平面ABC，并给出证明；
      （3）记三棱锥A-BCE的体积为V，且V∈[
      3
      2
      ，12]，求a的取值范围．

      试题解答

      见解析
      （1）证明：连接A1C，A1E．因为 侧面A1ABB1是菱形，E是AB1的中点，所以 E也是A1B的中点，
      又因为 F是BC的中点，所以 EF∥A      1C．
      因为 A      1C?平面A1ACC1，EF?平面A1ACC1，所以 直线EF∥平面A1ACC1． …（4分）
      （2）解：当
      BG
      GA
      =
      1
      3
      时，平面EFG⊥平面ABC，证明如下：…（5分）
      连接EG，FG．因为 侧面A      1ABB1是菱形，且∠A1AB=60°，所以△A1AB是等边三角形．
      因为 E是A      1B的中点，
      BG
      GA
      =
      1
      3
      ，所以 EG⊥AB．
      因为 平面A      1ABB1⊥平面ABC，且平面A1ABB1∩平面ABC=AB，所以 EG⊥平面ABC．
      又因为 EG?平面EFG，所以 平面EFG⊥平面ABC． …（8分）
      （3）解：因为△A      1AB是边长为a的等边三角形，所以 EG=
      √3
      4
      a，
      所以 V=V      A-BCE=VE-ABC=
      1
      3
      ?
      1
      2
      AC???BC?EG=
      √3
      48
      a3．
      根据
      3
      2
      ≤
      √3
      48
      a3≤12，解得2
      √3
      ≤a≤4
      √3
      ，即 a∈[2
      √3
      ，4
      √3
      ]． …（12分）
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      必修2人教A版解答题高中数学

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