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  • 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是AA1，BC1的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ABC；（Ⅱ）若AC=12BC=√2，AA1=2，且∠ACB=90°，求平面EBC1与底面ABC所成的锐二面角的大小．[注：侧棱垂直于底面的三棱柱叫直三棱柱]．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是AA1，BC1的中点．
      （Ⅰ）求证：EF∥平面ABC；
      （Ⅱ）若AC=
      1
      2
      BC=
      √2
      ，AA1=2，且∠ACB=90°，求平面EBC1与底面ABC所成的锐二面角的大小．
      [注：侧棱垂直于底面的三棱柱叫直三棱柱]．

      试题解答

      见解析
      解：（I）取BC的中点G，连结AG、FG，
      ∵FG是△BC      1C的中位线，∴FG
      ∥
      1
      2
      C1C，
      ∵四边形AA      1C1C是平行四边形，E为AA1的中点，
      ∴AE
      ∥
      1
      2
      C1C，得FG
      ∥
      AE
      ∴四边形AEFG是平行四边形，得EF∥AG，
      ∵EF?平面ABC，AG?平面ABC，∴EF∥平面ABC；
      （II）∵AA      1⊥平面ABC，AC?平面ABC，∴AA1⊥A1C1，
      由此可得Rt△A      1EC1中，C1E=
      √A 1E2+A1C12
      =
      √3
      ，
      同理可得BC      1=
      √CC12+BC2
      =2
      √3
      ，
      BE=
      √A E2+AB2
      =
      √A E2+AC2+BC2
      =
      √11
      ，
      △BC      1E中，由余弦定理得cos∠BC1E=
      BC12+C1E2-BE2
      2×BC1×C1E
      =
      1
      3
      ，
      ∴sin∠BC      1E=
      √1-cos2∠BC1E
      =
      2
      √2
      3
      ，
      可得S       △BC1E=
      1
      2
      BC1?C1Esin∠BC1E=
      1
      2
      ×2
      √3
      ×
      √3
      ×
      2
      √2
      3
      =2
      √2
      ．
      ∵S      △ABC=
      1
      2
      ×AC×BC=
      1
      2
      ×
      √2
      ×2
      √2
      =2
      ∴若平面EBC      1与底面ABC所成的锐二面角为α，可得cosα=
      S△ABC
      S△BC1E
      =
      √2
      2
      ，
      由此可得α=45°，即平面EBC      1与底面ABC所成的锐二面角的大小等于45°．
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