已知函数y=f（x）的图象是自原点出发的一条折线，当n≤y≤n+1（n=0，1，2，…）时，该图象是斜率为bn的线段（其中正常数b≠1），设数列|xn|由f（xn）=n（n=1，2，…）定义．（1）求x1、x2和xn的表达式；（2）计算；（3）求f（x）的表达式，并写出其定义域；试题及答案-解答题-云返教育

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已知函数y=f（x）的图象是自原点出发的一条折线，当n≤y≤n+1（n=0，1，2，…）时，该图象是斜率为bⁿ的线段（其中正常数b≠1），设数列|x_n|由f（x_n）=n（n=1，2，…）定义．
（1）求x₁、x₂和x_n的表达式；
（2）计算

；
（3）求f（x）的表达式，并写出其定义域；

试题解答

见解析

依题意f（0）=0，又由f（x₁）=1，当0≤y≤1时，
函数y=f（x）的图象是斜率为b=1的线段，
故由

得x₁=1．
又由f（x₂）=2，当1≤y≤2时，函数y=f（x）的图象是斜率为b的线段，
故由

，
即

得

记x=0．由函数y=f（x）图象中第n段线段的斜率为b^n-1，
故得

又f（x_n）=n，f（x_n-1）=n-1，∴

由此知数列{x_n-x_n-1}为等比数列，其首项为1，公比为

因b≠1，得

，
即

（2）【解析】
由（1）知

当b＞1时，

；
当0＜b＜1时，n→∞，x_n也趋向于无穷大．
（3）【解析】
由（1）知：
当0≤x≤1时，y=x．即当0≤x≤1时，f（x）=x；
当n≤y≤n+1时，即x_n≤x≤x_n-1时，
由（1）可知，f（x）=n+bⁿ（x-x_n）（n=1，2，）．
由（2）知：当b＞1时，
y=f（x）的定义域为

；
当0＜b＜1时，y=f（x）的定义域为[0，+∞）．

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必修2 人教A版解答题高中数学

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