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  • 已知函数（a＞0），且f′（1）=0．（Ⅰ）试用含有a的式子表示b，并求f（x）的极值；（Ⅱ）对于函数f（x）图象上的不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），如果在函数图象上存在点M（x，y）（其中x∈（x1，x2）），使得点M处的切线l∥AB，则称AB存在“伴随切线”．特别地，当时，又称AB存在“中值伴随切线”．试问：在函数f（x）的图象上是否存在两点A、B使得它存在“中值伴随切线”，若存在，求出A、B的坐标，若不存在，说明理由．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数（a＞0），且f′（1）=0．
      （Ⅰ）试用含有a的式子表示b，并求f（x）的极值；
      （Ⅱ）对于函数f（x）图象上的不同两点A（x      1，y1），B（x2，y2），如果在函数图象上存在点M（x，y）（其中x∈（x1，x2）），使得点M处的切线l∥AB，则称AB存在“伴随切线”．特别地，当时，又称AB存在“中值伴随切线”．试问：在函数f（x）的图象上是否存在两点A、B使得它存在“中值伴随切线”，若存在，求出A、B的坐标，若不存在，说明理由．

      试题解答

      见解析
      （Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），∵，f'（1）=1-a+b=0，∴b=a-1．
      代入      ，得．
      当f'（x）＞0时，      ，由x＞0，得（ax+1）（x-1）＜0，
      又a＞0，∴0＜x＜1，即f（x）在（0，1）上单调递增；
      当f'（x）＜0时，      ，由x＞0，得（ax+1）（x-1）＞0，
      又a＞0，∴x＞1，即f（x）在（1，+∞）上单调递减．
      ∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
      所以，当x=1时，f（x）的极大值为
      （Ⅱ）在函数f（x）的图象上不存在两点A、B使得它存在“中值伴随切线”．
      假设存在两点A（x      1，y1），B（x2，y2），不妨设0＜x1＜x2，则，，==，
      在函数图象      处的切线斜率，
      由      =
      化简得：      ，=．
      令      ，则t＞1，上式化为：=，即，
      若令      ，，
      由t≥1，g'（t）≥0，∴g（t）在[1，+∞）在上单调递增，g（t）＞g（1）=2．
      这表明在（1，+∞）内不存在t，使得      =2．
      综上所述，在函数f（x）上不存在两点A、B使得它存在“中值伴随切线”．
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