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  • 已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax2+bx，a≠0．（Ⅰ）若b=2，且h（x）=f（x）-g（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅱ）设函数f（x）的图象C1与函数g（x）图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1，C2于点M、N，证明C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax2+bx，a≠0．
      （Ⅰ）若b=2，且h（x）=f（x）-g（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；
      （Ⅱ）设函数f（x）的图象C      1与函数g（x）图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1，C2于点M、N，证明C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行．

      试题解答

      见解析
      （I）b=2时，h（x）=lnx-ax2-2x，
      则h′（x）=      -ax-2=-．
      因为函数h（x）存在单调递减区间，所以h'（x）＜0有解．
      又因为x＞0时，则ax      2+2x-1＞0有x＞0的解．
      ①当a＞0时，y=ax      2+2x-1为开口向上的抛物线，ax2+2x-1＞0总有x＞0的解；
      ②当a＜0时，y=ax      2+2x-1为开口向下的抛物线，而ax2+2x-1＞0总有x＞0的解；
      则△=4+4a＞0，且方程ax      2+2x-1=0至少有一正根．此时，-1＜a＜0．
      综上所述，a的取值范围为（-1，0）∪（0，+∞）．
      （II）设点P、Q的坐标分别是（x      1，y1），（x2，y2），0＜x1＜x2．
      则点M、N的横坐标为x=      ，
      C      1在点M处的切线斜率为k1=，x=，k1=，
      C      2在点N处的切线斜率为k2=ax+b，x=，k2=+b．
      假设C      1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则k1=k2．
      即      =+b，
      则
      =      （x22-x12）+b（x2-x1）
      =      （x22+bx2）-（+bx1）
      =y      2-y1
      =lnx2-lnx1．
      所以      =．设t=，则lnt=，t=1①
      令r（t）=lnt-      ，t＞1．则r′t=-=．
      因为t＞1时，r'（t）＞0，所以r（t）在[1，+∞）上单调递增．故r（t）＞r（1）=0．
      则lnt＞      ．这与①矛盾，假设不成立．
      故C      1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行．
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