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已知直线l经过点P(3,1),且被两平行直线l1;x+y+1=0和l2:x+y+6=0截得的线段之长为5,求直线l的方程.试题及答案-解答题-云返教育
试题详情
已知直线l经过点P(3,1),且被两平行直线l
1
;x+y+1=0和l
2
:x+y+6=0截得的线段之长为5,求直线l的方程.
试题解答
见解析
解法一:若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=3,
此时与l
1
、l
2
的交点分别为A′(3,-4)或B′(3,-9),
截得的线段AB的长|AB|=|-4+9|=5,符合题意.
若直线l的斜率存在,则设直线l的方程为y=k(x-3)+1.
解方程组
得
A(
,-
).
解方程组
得
B(
,-
).
由|AB|=5.
得(
-
)
2
+(-
+
)
2
=5
2
.
解之,得k=0,直线方程为y=1.
综上可知,所求l的方程为x=3或y=1.
解法二:由题意,直线l
1
、l
2
之间的距离为d=
=
,
且直线L被平行直线l
1
、l
2
所截得的线段AB的长为5,
设直线l与直线l
1
的夹角为θ,则sinθ=
=
,故θ=45°.
由直线l
1
:x+y+1=0的倾斜角为135°,知直线l的倾斜角为0°或90°,
又由直线l过点P(3,1),故直线l的方程为:x=3或y=1.
解法三:设直线l与l
1
、l
2
分别相交A(x
1
,y
1
)、B(x
2
,y
2
),则x
1
+y
1
+1=0,x
2
+y
2
+6=0.
两式相减,得(x
1
-x
2
)+(y
1
-y
2
)=5.①
又(x
1
-x
2
)
2
+(y
1
-y
2
)
2
=25.②
联立①、②可得
或
由上可知,直线l的倾斜角分别为0°或90°.
故所求的直线方程为x=3或y=1.
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直线的点斜式方程
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