t∈R，且t∈（0，10），由t确定两个任意点P（t，t），Q（10-t，0）．（1）直线PQ是否能通过下面的点M（6，1），点N（4，5）；（2）在△OPQ内作内接正方形ABCD，顶点A、B在边OQ上，顶点C在边PQ上，顶点D在边OP上．①求证：顶点C一定在直线y=12x上．②求下图中阴影部分面积的最大值，并求这时顶点A、B、C、D的坐标．试题及答案-解答题-云返教育

试题详情

t∈R，且t∈（0，10），由t确定两个任意点P（t，t），Q（10-t，0）．
（1）直线PQ是否能通过下面的点M（6，1），点N（4，5）；
（2）在△OPQ内作内接正方形ABCD，顶点A、B在边OQ上，顶点C在边PQ上，顶点D在边OP上．
①求证：顶点C一定在直线y=

x上．
②求下图中阴影部分面积的最大值，并求这时顶点A、B、C、D的坐标．

见解析

解：（1）令过P、Q方程

y-0

x-0

x-(10-t)

t-(10-t)

tx-2（t-5）y+t²-10t=0，
假设M过PQ，
则t²-6t+10=0，△=36-40＜0，无实根，故M不过直线PQ．
若假设N过直线PQ，
同理得：t²-16t+50=0，t₁=8-

√14

，t₂=8+

√14

（舍去）
∵t∈（0，10），当t=8-

√14

时，直线PQ过点N（4，5）
（2）由已知条件可设A（a，0），B（2a，0），C（2a，a），D（a，a）．
①点C（2a，a），即

{

x=2a

y=a

，
消去a得y=

x，
故顶点C在直线y=

x上．
②令阴影面积为S，则s=

|10-t|-|t|-a²
∵t＞0，10-t＞0，S=

（-t²+10t）-a²
∵点C（2a，a）在直线PQ上，
∴2at-2（t-5）a=-t²+10t
∴a=

（10t-t²），
S=

×10a-a²=-(a-

)²+

∴当a=

时，S_max=

，
此时顶点A、B、C、D的坐标为A（

，0）
，B（5，0），C（5，

），D（

，

）

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