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  • t∈R，且t∈（0，10），由t确定两个任意点P（t，t），Q（10-t，0）．（1）直线PQ是否能通过下面的点M（6，1），点N（4，5）；（2）在△OPQ内作内接正方形ABCD，顶点A、B在边OQ上，顶点C在边PQ上，顶点D在边OP上．①求证：顶点C一定在直线y=x上．②求下图中阴影部分面积的最大值，并求这时顶点A、B、C、D的坐标．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      t∈R，且t∈（0，10），由t确定两个任意点P（t，t），Q（10-t，0）．
      （1）直线PQ是否能通过下面的点M（6，1），点N（4，5）；
      （2）在△OPQ内作内接正方形ABCD，顶点A、B在边OQ上，顶点C在边PQ上，顶点D在边OP上．
      ①求证：顶点C一定在直线y=      x上．
      ②求下图中阴影部分面积的最大值，并求这时顶点A、B、C、D的坐标．

      试题解答

      见解析
      （1）令过P、Q方程
      tx-2（t-5）y+t      2-10t=0，
      假设M过PQ，
      则t      2-6t+10=0，△=36-40＜0，无实根，故M不过直线PQ．
      若假设N过直线PQ，
      同理得：t      2-16t+50=0，t1=8-，t2=8+（舍去）
      ∵t∈（0，10），当t=8-      时，直线PQ过点N（4，5）
      （2）由已知条件可设A（a，0），B（2a，0），C（2a，a），D???a，a）．
      ①点C（2a，a），即      ，
      消去a得y=      x，
      故顶点C在直线y=      x上．
      ②令阴影面积为S，则s=      |10-t|-|t|-a2
      ∵t＞0，10-t＞0，S=      （-t2+10t）-a2
      ∵点C（2a，a）在直线PQ上，
      ∴2at-2（t-5）a=-t      2+10t
      ∴a=      （10t-t2），
      S=      ×10a-a2=-+
      ∴当a=      时，Smax=，
      此时顶点A、B、C、D的坐标为A（      ，0）
      ，B（5，0），C（5，      ），D（，）
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