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已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆Ω，它的离心率为，一个焦点和抛物线y2=-4x的焦点重合，过直线l：x=4上一点M引椭圆Ω的两条切线，切点分别是A，B．（Ⅰ）求椭圆Ω的方程；（Ⅱ）判断直线AB是否恒过定点C；若是，求定点C的坐标．若不是，请说明理由．试题及答案-解答题-云返教育

试题详情

已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆Ω，它的离心率为

，一个焦点和抛物线y²=-4x的焦点重合，过直线l：x=4上一点M引椭圆Ω的两条切线，切点分别是A，B．
（Ⅰ）求椭圆Ω的方程；
（Ⅱ）判断直线AB是否恒过定点C；若是，求定点C的坐标．若不是，请说明理由．

试题解答

见解析

（Ⅰ）设椭圆方程为

，
抛物线y²=-4x的焦点???（-1，0），故c=1，
又∵

，∴a=2，b=

=

，
∴所求的椭圆Ω的方程为

．
（Ⅱ）设切点坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l上一点M的坐标（4，t），
则切线方程分别为

，

，
∵两切线均过M，即

，

，
即点A，B的坐标都适合方程x+

=1，
而两点之间确定的唯一的一条直线，
∴直线AB的方程是x+

=1，
对任意实数t，点（1，0）都适合这个方程，
故直线恒过定点C（1，0）．

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必修2 苏教版解答题高中数学

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