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  • 有如下结论：“圆x2+y2=r2上一点P（x0，y0）处的切线方程为x0y+y0y=r2”，类比也有结论：“椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)上一点P(x0，y0)处的切线方程为x 0xa2+y0yb2=1”，过椭圆C：x24+y2=1的右准线l上任意一点M引椭圆C的两条切线，切点为A、B．（1）求证：直线AB恒过一定点；（2）当点M的纵坐标为1时，求△ABM的面积．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      有如下结论：“圆x2+y2=r2上一点P（x0，y0）处的切线方程为x0y+y0y=r2”，类比也有结论：“椭圆
      x2
      a2
      +
      y2
      b2
      =1(a＞b＞0)上一点P(x0，y0)处的切线方程为
      x
      0
      x
      a2
      +
      y0y
      b2
      =1”，过椭圆C：
      x2
      4
      +y2=1的右准线l上任意一点M引椭圆C的两条切线，切点为A、B．
      （1）求证：直线AB恒过一定点；
      （2）当点M的纵坐标为1时，求△ABM的面积．

      试题解答

      见解析
      解：
      （1）设M(
      4
      √3
      3
      ，t)(t∈R)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则MA的方程为
      x1x
      4
      +y1y=1
      ∵点M在MA上∴
      √3
      3
      x1+ty1=1，同理可得
      √3
      3
      x2+ty2=1②（3分）
      由①②知AB的方程为
      √3
      3
      x+ty=1，即x=
      √3
      (1-ty)（4分）
      易知右焦点F（
      √3
      ，0）满足③式，（5分）
      故AB恒过椭圆C的右焦点F（
      √3
      ，0）（6分）
      （2）把AB的方程 x=
      √3
      （1-y）代入椭圆化简得，7y2-6y-1=0，
      y      1+y2=
      6
      7
      ，y1?y2=-
      1
      7

      ∴|AB|=
      √1+
      1
      k2
      ?|y1-y2|=
      √1+3
      ?
      √36+28
      7
      =
      16
      7
      ，
      又M 到AB的距离d=
      |
      4
      √3
      3
      |
      √1+3
      =
      2
      √3
      3
      ，
      △ABM的面积 S=
      1
      2
      ?|AB|?d=
      16
      √3
      21
      ．
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