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  • 已知两条直线l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0，(A2+B2≠0且C1≠C2）．求证：（1）l1∥l2；（2）l1与l2之间的距离是d=|C1-C2|√A2+B2．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知两条直线l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0，(A2+B2≠0且C1≠C2）．求证：
      （1）l      1∥l2；
      （2）l      1与l2之间的距离是d=
      |C1-C2|
      √A2+B2
      ．

      试题解答

      见解析
      证明：（1）（方法一）若B=0，则A≠0，
      ∴两条直线变为：x=-
      C1
      A
      ，x=-
      C2
      A
      ，
      ∴两条直线都与x轴垂直，
      ∴l      1∥l2或重合．
      又由于C      1≠C2，
      ∴l      1∥l2．…（2分）
      若B≠0，则两直线方程化为      l1：y=-
      A
      B
      x-
      C1
      B
      ；l2：y=-
      A
      B
      x-
      C2
      B
      ．
      ∴      k1=-
      A
      B
      ，b1=-
      C1
      B
      ；k2=-
      A
      B
      ，b2=-
      C2
      B
      ．又C1≠C2，
      ∴k      1=k2且b1≠b2，
      即两直线的斜率相等且在y轴上的截距不等，
      ∴l      1∥l2．…（6分）
      （方法二）∵AB-BA=0，
      ∴l      1∥l2或重合．
      又∵BC      2-BC1=B（C2-C1）．
      当B≠0时，∵C      1≠C2，
      ∴BC      2-BC1≠0，因此l1∥l2；…（2分）
      当B=0时，A≠0，
      ∴两条直线变为：x=-
      C1
      A
      ，x=-
      C2
      A
      ，
      ∴两条直线都与x轴垂直，
      ∴l      1∥l2或重合．
      又由于C      1≠C2，∴l1∥l2．…（6分）
      （2）在l      1上任取一???P（x1，y1），
      则Ax      1+By1=-C1．
      ∴l      1与l2之间的距离等于点P到l2的距离，…（9分）
      d=
      |Ax1+By1+C2|
      √A2+B2
      =
      |C2-C1|
      √A2+B2
      ．…（12分）
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      必修2北师大版解答题高中数学

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