两条互相平行的直线分别过点A（6，2）和B（-3，-1），并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d．求：（1）d的变化范围；（2）当d取最大值时两条直线的方程．试题及答案-解答题-云返教育

试题详情

两条互相平行的直线分别过点A（6，2）和B（-3，-1），并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d．
求：
（1）d的变化范围；
（2）当d取最大值时两条直线的方程．

见解析

（1）方法一：①当两条直线的斜率不存在时，即两直线分别为x=6和x=-3，则它们之间的距离为9．…（2分）
②当两条直线的斜率存在时，设这两条直线方程为
l₁：y-2=k（x-6），l₂：y+1=k（x+3），
即l₁：kx-y-6k+2=0，l₂：kx-y+3k-1=0，…（4分）
∴d=

．
即（81-d²）k²-54k+9-d²=0．
∵k∈R，且d≠9，d＞0，
∴△=（-54）²-4（81-d²）（9-d²）≥0，即0＜d≤3

且d≠9．…（9分）
综合①②可知，所求d的变化范围为（0，3

]．

方法二：如图所示

，显然有0＜d≤|AB|．
而|AB|=

．
故所求的d的变化范围为（0，3

]．
（2）由图可知，当d取最大值时，两直线垂直于AB．
而k_AB=

，
∴所求直线的斜率为-3．故所求的直线方程分别为
y-2=-3（x-6），y+1=-3（x+3），即3x+y-20=0和3x+y+10=0-…（13分）

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