已知圆C经过A（0，1），B（4，a）（a∈R）两点．（1）当a=3，并且AB是圆C的直径，求此时圆C的标准方程；（2）当a=1时，圆C与x轴相切，求此时圆C的方程；（3）如果AB是圆C的直径，证明：无论a取何实数，圆C恒经过除A外的另一个定点，求出这个定点坐标．试题及答案-解答题-云返教育

试题详情

已知圆C经过A（0，1），B（4，a）（a∈R）两点．
（1）当a=3，并且AB是圆C的直径，求此时圆C的标准方程；
（2）当a=1时，圆C与x轴相切，求此时圆C的方程；
（3）如果AB是圆C的直径，证明：无论a取何实数，圆C恒经过除A外的另一个定点，求出这个定点坐标．

见解析

解：（1）由题意可得，圆心为线段AB的中点，故圆心坐标C???2，2），半径等于

AB=

√5

，故所求的圆的方程为（x-2）²+（y-2）²=5．
（2）a=1时，圆过A（0，1），B（4，1），设圆的半径为r，则由圆C与x轴相切可得圆心为C（2，r）．
r²=4+（r-1）²，r=

，故所求的圆的方程为 (x-2)²+(y-

)²=

．
（3）∵AB是圆C的直径，设圆心C的坐标为（x，y），由于直径对的圆周角等于90°，故有

=0，即（x，y-1）?（x-4，y-a）=0，
故动圆的方程为：x（x-4）+（y-1）（y-a）=0，则当x=4，y=1时，（x，y-1）?（x-4，y-a）=0恒成立，
故圆C经过定点（4，1）．

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