（2014秋?工农区校级期末）已知函数f（x）=sinx+acosx的图象经过点（π3，0）（1）求实数a的值；（2）设g（x）=[f（x）]2-2，求当x∈（π4，2π3）时，函数g（x）的值域；（3）若g（a2）=-34（π6＜a＜2π3），求cos（α+3π2）的值．试题及答案-解答题-云返教育

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（2014秋?工农区校级期末）已知函数f（x）=sinx+acosx的图象经过点（π3，0）
（1）求实数a的值；
（2）设g（x）=[f（x）]²-2，求当x∈（π4，2π3）时，函数g（x）的值域；
（3）若g（a2）=-34（π6＜a＜2π3），求cos（α+3π2）的值．

试题解答

见解析

【解答】解：（1）因为函数f（x）=sinx+acosx的图???经过点（π3，0），
所以sinπ3+acosπ3=0，解得a=-3；
（2）由（1）可得，f（x）=sinx-3cosx=2sin(x?π3)，
所以g（x）=[f（x）]²-2=4sin²(x?π3)-2
=4×1?cos(2x?2π3)2?2=?2cos(2x?2π3)，
由x∈（π4，2π3）得，2x?2π3∈（?π6，2π3），
则?12＜cos(2x?2π3)≤1，所以?2≤?2cos(2x?2π3)＜1，
则函数g（x）的值域：[-2，1）；
（3）因为g（a2）=-34，所以?2cos(α?2π3)=-34，即cos(α?2π3)＝38，
因为π6＜a＜2π3，所以?π2＜α?2π3＜0，
则sin(α?2π3)＝?1?cos²(α?2π3)=-618，
所以sinα=sin[（α?2π3）+2π3]=sin（α?2π3）cos2π3+cos（α?2π3）sin2π3
=-618×（?12）+38×32=3+6116，
则cos（α+3π2）=sinα=3+6116．

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