已知函数f(x)=1+x-x22+x33-x44+…+x20132013，设F（x）=f（x+4），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，则圆x2+y2=b-a的面积的最小值是．试题及答案-填空题-云返教育

试题详情

已知函数f(x)=1+x-

x²

x³

x⁴

+…+

x²⁰¹³

2013

，设F（x）=f（x+4），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，则圆x²+y²=b-a的面积的最小值是．

试题解答

解：∵f^′（x）=1-x+x²+…+x²⁰¹²，①x=0时，f^′（0）=1＞0；②当x=-1时，f^′（-1）=2013＞0；
③当x≠0，-1时，f^′（x）=

1-(-x)²⁰¹³

1-(-x)

1+x²⁰¹³

1+x

，无论x＞-1，还是x＜-1，都有f^′（x）＞0．
综上可知：对?x∈R，都有f^′（x）＞0．∴函数f（x）单调递增，也就是说，函数f（x）至多有一个零点．
另一方面：f（0）=1＞0，f（-1）═0-

-…-

2013

＜0，∴f（0）f（-1）＜0，
由函数零点的判定定理可知：函数f（x）的零点x₀∈（-1，0）．
综上可知：函数f（x）有且只有一个零点x₀∈（-1，0）．
又F（x）=f（x+4），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，∴函数F（x）的零点x₀^′必在区间（-5，-4）内．
又（-5，-4）?[a，b]，（a＜b，a，b∈Z），∴b-a的最小值为1．
∴圆x²+y²=b-a的面积的最小值是π×1²=π．
故答案为π．

标签

必修1 人教A版填空题高中数学

已知函数f(x)=1+x-x22+x33-x44+…+x20132013，设F（x）=f（x+4），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，则圆x2+y2=b-a的面积的最小值是 ．试题及答案-填空题-云返教育

试题详情

试题解答

函数的零点相关试题

已知函数f(x)=1+x-x22+x33-x44+…+x20132013，设F（x）=f（x+4），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，则圆x2+y2=b-a的面积的最小值是．试题及答案-填空题-云返教育