已知函数f(x)=32x2+2ax-a2lnx，二次函数g（x）=ax2-2x+1．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若-（a12+a22）=a1a23+a2a13-2a12a22=a1a2（a1-a2）2与g（x）在区间（a，a+2）内均为单调函数，求实数a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知函数f(x)=

x²+2ax-a²lnx，二次函数g（x）=ax²-2x+1．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若-（a₁²+a₂²）=a₁a₂³+a₂a₁³-2a₁²a₂²=a₁a₂（a₁-a₂）²与g（x）在区间（a，a+2）内均为单调函数，求实数a的取值范围．

见解析

解：（Ⅰ）由条件知函数f（x）的定义域是（0，+∞），a≠0．（2分）
∵f′(x)=

(3x-a)(x+a)

．
∴当a＞0时，f（x）在(

，+∞)上单调递增，
在(0，

)上单调递减．
当a＜0时，f（x）在（-a，+∞）上单调递增，
在（0，-a）上单调递减．（6分）
（Ⅱ）∵f（x）的定义域为（0，+∞），
∴a＞0．（8分）
故a＞

，
∴由（Ⅰ）知f（x）在（a，a+2）上单调递增．（10分）
∴g（x）=ax²-2x+1在（a，a+2）上也单调递增，
∴

≤a．
∴a≥1．（12分）

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