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  • 已知：函数f（x）=ax2-2x+1．（1）若13≤a≤1，且f（x）在[1，3]上的最大值为M （a），最小值为N （a），令g（a）=M（a）-N （a），求g（a）的表达式；（2）在（1）的条件下，求证：g（a）≥12；（3）设a＞0，证明对任意的x1，x2∈[1a，+∞），|f（x1）-f（x2）|≥a（x1-x2）．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知：函数f（x）=ax2-2x+1．
      （1）若
      1
      3
      ≤a≤1，且f（x）在[1，3]上的最大值为M （a），最小值为N （a），令g（a）=M（a）-N （a），求g（a）的表达式；
      （2）在（1）的条件下，求证：g（a）≥
      1
      2
      ；
      （3）设a＞0，证明对任意的x      1，x2∈[
      1
      a
      ，+∞），|f（x1）-f（x2）|≥a（x1-x2）．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵f（x）=ax2-2x+1．
      ∴f(x)=a(x-
      1
      a
      )2+1-
      1
      a
      ，
      由
      1
      3
      ≤a≤1得1≤
      1
      a
      ≤3，
      ∴N(a)=f(
      1
      a
      )=1-
      1
      a
      ．
      当1≤
      1
      a
      ＜2，即
      1
      2
      ＜a≤1时，
      M（a）=f（3）=9a-5，
      故g(a)=9a+
      1
      a
      -6；
      当2≤
      1
      a
      ≤3，即
      1
      3
      ≤a≤
      1
      2
      时，
      M（a）=f（1）=a-1，
      故g(a)=a+
      1
      a
      -2．
      ∴g(a)=
      {
      a+
      1
      a
      -2，a∈[
      1
      3
      ，
      1
      2
      ]
      9a+
      1
      a
      -6，a∈(
      1
      2
      ，1]
      ．
      （2）∵当a∈[
      1
      3
      ，
      1
      2
      ]时，
      g′(a)=1-
      1
      a2
      ＜0，
      ∴函数g（a）在[
      1
      3
      ，
      1
      2
      ]上为减函数；
      当a∈(
      1
      2
      ，1]时，
      g′(a)=9-
      1
      a2
      ＞0，
      ∴函数g（a）在(
      1
      2
      ，1]上为增函数，
      ∴当a=
      1
      2
      时，g（a）取最小值，
      g(a)      min=g(
      1
      2
      )=
      1
      2
      ，
      故g(a)≥
      1
      2
      ．
      （3）∵当a＞0时，抛物线f（x）=ax      2-2x+1开口向上，
      对称轴为x=
      1
      a
      ，
      ∴函数f（x）在[
      1
      a
      ，+∞)上为增函数，
      （或由f'（x）=2ax-2≥0得x≥
      1
      a
      ，
      ∴函数f（x）在[
      1
      a
      ，+∞)上为增函数，
      不妨设x      1≤x2，由x1，x2∈[
      1
      a
      ，+∞)，
      得f（x      1）≤f（x2）
      ∴|f（x      1）-f（x2）|≥a|x1-x2|，
      ∴f（x      2）-f（x1）≥a（x2-x1），
      ∴f（x      2）-ax2≥f（x1）-ax1
      令φ（x）=f（x）-ax=ax      2-（a+2）x+1，x∈[
      1
      a
      ，+∞)
      ∵抛物线y=φ（x）开口向上，
      对称轴为x=
      a+2
      2a
      ，
      且
      a+2
      2a
      =
      1
      2
      +
      1
      a
      ＞
      1
      a
      ，
      ∴函数φ（x）在[
      1
      a
      ，+∞)上单调递增，
      ∴对任意的      x1，x2∈[
      1
      a
      ，+∞)，x2≥x1，
      有φ（x      2）≥φ（x1），
      即f（x      2）-ax2≥f（x1）-ax1，
      ∴|f（x      1）-f（x2）|≥a|x1-x2|．
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