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  • 已知a，b，c是实数，函数f（x）=ax2+bx+c，g（x）=ax+b，当-1≤x≤1时|f（x）|≤1．（1）证明：|c|≤1；（2）证明：当-1≤x≤1时，|g（x）|≤2；（3）设a＞0，有-1≤x≤1时，g（x）的最大值为2，求f（x）．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知a，b，c是实数，函数f（x）=ax2+bx+c，g（x）=ax+b，当-1≤x≤1时|f（x）|≤1．
      （1）证明：|c|≤1；
      （2）证明：当-1≤x≤1时，|g（x）|≤2；
      （3）设a＞0，有-1≤x≤1时，g（x）的最大值为2，求f（x）．

      试题解答

      见解析
      （1）证明：由条件当=1≤x≤1时，
      |f（x）|≤1，
      取x=0得：|c|=|f（0）|≤1，
      即|c|≤1．
      （2）证法一：依题设|f（0）|≤1而f（0）=c，
      所以|c|≤1．
      当a＞0时，g（x）=ax+b在[-1，1]上是增函数，
      于是g（-1）≤g（x）≤g（1），（-1≤x≤1）．
      ∵|f（x）|≤1，（-1≤x≤1），|c|≤1，
      ∴g（1）=a+b=f（1）-c≤|f（1）|+|c|=2，
      g（-1）=-a+b=-f（-1）+c≥-（|f（-2）|+|c|）≥-2，
      因此得|g（x）|≤2 （-1≤x≤1）；
      当a＜0时，g（x）=ax+b在[-1，1]上是减函数，
      于是g（-1）≥g（x）≥g（1），（-1≤x≤1），
      ∵|f（x）|≤1 （-1≤x≤1），|c|≤1
      ∴|g（x）|=|f（1）-c|≤|f（1）|+|c|≤2．
      综合以上结果，当-1≤x≤1时，
      都有|g（x）|≤2．
      证法二：∵|f（x）|≤1（-1≤x≤1）
      ∴|f（-1）|≤1，|f（1）|≤1，|f（0）|≤1，
      ∵f（x）=ax      2+bx+c，
      ∴|a-b+c|≤1，|a+b+c|≤1，|c|≤1，
      因此，根据绝对值不等式性质得：
      |a-b|=|（a-b+c）-c|≤|a-b+c|+|c|≤2，
      |a+b|=|（a+b+c）-c|≤|a+b+c|+|c|≤2，
      ∵g（x）=ax+b，∴|g（±1）|=|±a+b|=|a±b|≤2，
      函数g（x）=ax+b的图象是一条直线，
      因此|g（x）|在[-1，1]上的最大值只能在区间的端点x=-1或x=1处取得，
      于是由|g（±1）|≤2得|g（x）|≤2，（-1＜x＜1）．
      证法三：∵x=
      (x+1)2-(x-1)2
      4
      =(
      x+1
      2
      )2-(
      x-1
      2
      )2，∴g(x)=ax+b=a[(
      x+1
      2
      )2-(
      x-1
      2
      )2]+b(
      x+1
      2
      -
      x-1
      2
      )=[a(
      x+1
      2
      )2+b(
      x+1
      2
      )+c]-[a(
      x-1
      2
      )2+b(
      x-1
      2
      )+c]=f(
      x+1
      2
      )-f(
      x-1
      2
      )
      当-1≤x≤1时，有0≤
      x+1
      2
      ≤1，-1≤
      x-1
      2
      ≤0，
      ∵|f（x）|≤1，（-1≤x≤1），
      ∴|f (
      x+1
      2
      )|≤1，|f（
      x-1
      2
      ）|≤1；
      因此当-1≤x≤1时，|g（x）|≤|f (
      x+1
      2
      )|+|f（
      x-1
      2
      ）|≤2．
      （3）解：因为a＞0，g（x）在[-1，1]上是增函数，
      当x=1时取得最大值2，
      即g（1）=a+b=f（1）-f（0）=2．①
      ∵-1≤f（0）=f（1）-2≤1-2=-1，
      ∴c=f（0）=-1．
      因为当-1≤x≤1时，f（x）≥-1，
      即f（x）≥f（0），
      根据二次函数的性质，直线x=0为f（x）的图象的对称轴，
      由此得-
      b
      2a
      ＜0，
      即b=0．
      由①得a=2，
      所以f（x）=2x      2-1．（14分）
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