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  • 已知函数f（x）=x2+bx+c（其中b，c为实常数）．（Ⅰ）若b＞2，且y=f（sinx）（x∈R）的最大值为5，最小值为-1，求函数y=f（x）的解析式；（Ⅱ）是否存在这样的函数y=f（x），使得{y|y=x2+bx+c，-1≤x≤0}=[-1，0]？若存在，求出函数y=f（x）的解析式；若不存在，请说明理由．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=x2+bx+c（其中b，c为实常数）．
      （Ⅰ）若b＞2，且y=f（sinx）（x∈R）的最大值为5，最小值为-1，求函数y=f（x）的解析式；
      （Ⅱ）是否存在这样的函数y=f（x），使得{y|y=x      2+bx+c，-1≤x≤0}=[-1，0]？若存在，求出函数y=f（x）的解析式；若不存在，请说明理由．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）由条件知f（x）=x2+bx+c，x∈[-1，1]的最大值为5，最小值为-1
      而b＞2，则对称轴x=-
      b
      2
      ＜-1，
      则
      {
      f(-1)=-1
      f(1)=5
      ，即
      {
      c-b+1=-1
      b+c+1=5
      ，解得
      {
      c=1
      b=3

      则f（x）=x      2+3x+1．
      （Ⅱ）①若b≥2，则x=-
      b
      2
      ≤-1，
      则
      {
      c-b+1=-1
      c=0
      ，解得
      {
      c=0
      b=2
      ，此时f（x）=x2+2x
      ②若b≤0，则x=-
      b
      2
      ≥0，
      则
      {
      c-b+1=0
      c=-1
      ，解得
      {
      c=-1
      b=0
      ，此时f（x）=x2-1
      ③若0＜b≤1，则x=-
      b
      2
      ∈[-
      1
      2
      ，0)，
      则
      {
      c-b+1=0
      c-
      b2
      4
      =-1
      ，解得
      {
      c=-1
      b=0
      （舍）或
      {
      c=3
      b=4
      （舍），
      此时不存在函数f（x）
      ④若1＜b＜2，则x=-
      b
      2
      ∈(-1，-
      1
      2
      )，
      则
      {
      c=0
      c-
      b2
      4
      =-1
      ，解得
      {
      c=0
      b=2
      （舍）或
      {
      c=0
      b=-2
      （舍），
      此时不存在函数f（x）
      综上所述存在函数f（x）=x      2-1和f（x）=x2+2x满足条件．
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