已知函数f（x）=x2，g（x）=ax+3（a∈R），记函数F（x）=f（x）-g（x），（1）判断函数F（x）的零点个数；（2）若函数|F（x）|在[0，1]上是减函数，求实数a的取值范围．（3）若a＞0，设F（x）在区间[1，2]的最小值为g（a），求g（a）的表达式．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f（x）=x²，g（x）=ax+3（a∈R），记函数F（x）=f（x）-g（x），
（1）判断函数F（x）的零点个数；
（2）若函数|F（x）|在[0，1]上是减函数，求实数a的取值范围．
（3）若a＞0，设F（x）在区间[1，2]的最小值为g（a），求g（a）的表达式．

见解析

解：（1）∵f（x）=x²，g（x）=ax+3（a∈R），
∴函数F（x）=f（x）-g（x）=x²-ax-3．
则判别式△=a²-4（-3）=a²+12＞0，
∴函数F（x）的零点个数有2个．
（2）∵F（x）=f（x）-g（x）=x²-ax-3．
∴|F（x）|=|x²-ax-3|=

{	x²-ax-3，F(x)≥0 -x²+ax+3，F(x)＜0

，
当a≤0时，对应的图象为：，
当a＞0时，对应的图象为：

，
∴要使函数|F（x）|在[0，1]上是减函数，
则

{	a≤0 F(1)≤0

，解得-2≤a≤0．
（3）∵F（x）=f（x）-g（x）=x²-ax-3=（x-

）²-

a²

-3，
∴对称轴x=

，
①若

≤1，即0＜a≤2时，函数F（x）在[1，2]上单调递增，∴F（x）最小值为g（a）=F（1）=-2-a．
②若

≥2，即a≥4时，函数F（x）在[1，2]上单调递减，∴F（x）最小值为g（a）=F（2）=1-a．
③若1＜

＜2，即2＜a＜4时，函数F（x）在[1，2]上不单调，∴函数F（x）最小值为g（a）=F（

）=-

a²

-3．
综上：g（a）=

{

-2-a，0＜a≤2

a²

-3， 2＜a＜4

1-a，a≥4

．

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