已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，满足f（0）=f（1）=0，且f（x）的最小值是-14．（1）求f（x）的解析式；（2）设直线l：y=t2-t（其中0＜t＜12，t为常数），若直线l与f（x）的图象以及y轴所围成封闭图形的面积是S1（t），直线l与f（x）的图象所围成封闭图形的面积是S2（t），设g（t）=S1（t）+12S2（t），当g（t）取最小值时，求t的值．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，满足f（0）=f（1）=0，且f（x）的最小值是-

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设直线l：y=t²-t（其中0＜t＜

，t为常数），若直线l与f（x）的图象以及y轴所围成封闭图形的面积是S₁（t），直线l与f（x）的图象所围成封闭图形的面积是S₂（t），设g（t）=S₁（t）+

S₂（t），当g（t）取最小值时，求t的值．

见解析

解：（1）由二次函数图象的对称性，
可设f（x）=a（x-

）²-

，
又f（0）=0，∴a=1，故f（x）=x²-x．
（2）据题意，直线l与f（x）的图象的交点坐标为（t，t²-t），由定积分的几何意义知：
g（t）=S₁（t）+

S₂（t）
=∫₀^t[（x²-x）-（t²-t）]dx+∫

_1
2

[（t²-t）-（x²-x）]dx
=[（

x³

x²

）-（t²-t）x]|₀^t+[（t²-t）x-（

x³

x²

）]|

_1
2

t³+

t²-

．

而g′（t）=-4t²+3t-

（8t²-6t+1）=-

（4t-1）（2t-1）．
令g′（t）=0?t=

???t=

（不合题意，舍去）．
当t∈（0，

）时，g′（t）＜0，g（t）递减；
当t∈（

，

）时，g′（t）＞0，g（t）递增；
故当t=

时，g（t）有最小值．

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