已知函数f（x）=xlnx，是否存在最小正常数m，使得a＞m时，对任意正实数x，不等式f（a+x）＜f（a）?ex恒成立？请说明理由．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f（x）=xlnx，是否存在最小正常数m，使得a＞m时，对任意正实数x，不等式f（a+x）＜f（a）?e^x恒成立？请说明理由．

试题解答

见解析

解：存在，
不等式f（a+x）＜f（a）e^x可转化为f（a+x）＜f（a）e^（a+x-a），
即

f(a+x)

e^a+x

＜

f(a)

e^a

，当x＞0时恒成立，
设g（x）=

f(x)

e^x

，
则g′（x）=

lnx+1-xlnx

e^x

，
令h（x）=lnx+1-xlnx，h′（x）=

-lnx-1，h″（x）=-

x²

＜0，（x＞0）
故h'（x）在（0，+∞）上单减，又h'（1）=0，
∴h（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，
又h（1）=1，h（2）=1-ln2＞0，h（3）=1-ln3＜0，
故x＞3时，g'（x）＜0，即g（x）在（3，+∞）上单减，
故存在m满足条件，m应为方程lnx+1=xlnx的解，数值在（2，3）中．

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必修1 人教A版单选题高中数学

已知函数f（x）=xlnx，是否存在最小正常数m，使得a＞m时，对任意正实数x，不等式f（a+x）＜f（a）?ex恒成立？请说明理由．试题及答案-单选题-云返教育

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