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  • 定义域为[a，b]的函数y=f（x）图象的两个端点为A，B，向量ON=λ OA+(1-λ) OB，M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=λa+（1-λ）b，λ∈[0，1]．若不等式|MN|≤k恒成立，则称函数f（x）在[a，b]上满足“k范围线性近似”，其中最小的正实数k称为该函数的线性近似阀值．下列定义在[1，2]上函数中，线性近似阀值最小的是（ ）试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      定义域为[a，b]的函数y=f（x）图象的两个端点为A，B，向量
      ON
      =λ
      OA
      +(1-λ)
      OB
      ，M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=λ
      a
      +（1-λ）
      b
      ，λ∈[0，1]．若不等式|MN|≤k恒成立，则称函数f（x）在[a，b]上满足“k范围线性近似”，其中最小的正实数k称为该函数的线性近似阀值．下列定义在[1，2]上函数中，线性近似阀值最小的是（　　）

      试题解答

      D
      解：由题意，M、N横坐标相等，不等式|MN|≤k对λ∈[0，1]恒成立，最小的正实数k应为|MN|的最大值．
      ①对于函数y=x      2，由A、B是其图象上横坐标分别为a、b的两点，则A（1，1），（2，4）∴AB方程为y-1=
      4-1
      2-1
      （x-1），即y=3x-2
      |MN|=|x      2-（3x-2）|=|（x-
      3
      2
      ）2-
      1
      4
      |≤
      1
      4
      ，线性近似阀值为
      1
      4
      ．
      ②同样对于函数y=
      2
      x
      ，由A（1，2），（2，1），AB方程为y=-x+3，|MN|═-x+3-
      2
      x
      =3-（x+
      2
      x
      ）≤3-2
      √2
      ，线性近似阀值为3-2
      √2
      ．
      ③同样对于函数y=sin
      π
      3
      x，A（1，
      √3
      2
      ），B（2，
      √3
      2
      ），AB方程为y=
      √3
      2
      ，由三角函数图象与性质可知|MN|≤1-
      √3
      2
      ，线性近似阀值为1-
      √3
      2
      ，
      ④同样对于函数y=x-
      1
      x
      ，得A（1，0），B（2，
      3
      2
      ），
      ∴直线AB方程为y=
      3
      2
      （x-1）
      ∴|MN|=x-
      1
      x
      -
      3
      2
      （x-1）=
      3
      2
      -（
      x
      2
      +
      1
      x
      ）≤
      3
      2
      -
      √2
      ，线性近似阀值为
      3
      2
      -
      √2
      ．
      由于为
      1
      4
      ＞3-2
      √2
      ＞1-
      √3
      2
      ＞
      3
      2
      -
      √2
      ．所以线性近似阀值最小的是y=x-
      1
      x

      故选D
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      必修1人教A版单选题高中数学

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