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  • 设对任意实数x＞0，y＞0，若不等式x+√xy≤a（x+2y）恒成立，则实数a的最小值为（ ）试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设对任意实数x＞0，y＞0，若不等式x+
      √xy
      ≤a（x+2y）恒成立，则实数a的最小值为（　　）

      试题解答

      A
      解：分离参数可得：a≥
      x+
      √xy
      x+2y
      =
      1+
      √
      y
      x
      1+
      2y
      x

      令
      √
      y
      x
      =t(t＞0)，则a≥
      1+t
      1+2t2

      令1+t=m（m＞1），
      1+t
      1+2t2
      =
      m
      3+2m2-4m
      =
      1
      3
      m
      +2m-4

      ∵m＞1，∴
      3
      m
      +2m≥2
      √6
      （当且仅当m=
      √6
      2
      时，取等号）
      ∴
      3
      m
      +2m-4≥2
      √6
      -4
      ∴0＜
      1
      3
      m
      +2m-4
      ≤
      1
      2
      √6
      -4

      ∴0＜
      1
      3
      m
      +2m-4
      ≤
      √6
      +2
      4

      ∴a≥
      √6
      +2
      4

      ∴a的最小值为
      √6
      +2
      4
      ．
      标签
      必修1人教A版单选题高中数学

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