我们把平面直角坐标系中，函数y=f（x），x∈D上的点P（x，y），满足x∈N，y∈N的点称为函数y=f（x）的“正格点”．（1）请你选取一个m的值，使对函数f（x）=sinmx，x∈R的图象上有正格点，并写出函数的一个正格点坐标（2）若函数f（x）=sinmx，x∈R，m∈（1，2），与函数g（x）=lgx的图象有正格点交点，求m的值，并写出两个函数图象的所有交点个数．（3）对于（2）中的m值，函数f（x）=sinx，x∈[0，59]时，不等式logax＞sinmx恒成立，求实数a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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我们把平面直角坐标系中，函数y=f（x），x∈D上的点P（x，y），满足x∈N^*，y∈N^*的点称为函数y=f（x）的“正格点”．
（1）请你选取一个m的值，使对函数f（x）=sinmx，x∈R的图象上有正格点，并写出函数的一个正格点坐标
（2）若函数f（x）=sinmx，x∈R，m∈（1，2），与函数g（x）=lgx的图象有正格点交点，求m的值，并写出两个函数图象的所有交点个数．
（3）对于（2）中的m值，函数f（x）=sinx，x∈[0，

]时，不等式log_ax＞sinmx恒成立，求实数a的取值范围．

试题解答

见解析

解：（1）若取m=

时，
正格点坐标（1，1），（5，1）（9，1）等（答案不唯一）…（2分）
（2）作出两个函数图象，可知函数f（x）=sinmx，x∈R，与函数g（x）=lgx的图象有正格点交点只有一个点为（10，1）（4分）
∴2kπ+

=10m，m=

4k+1

π，(k∈z)，m∈(1，2)，
∴m=

9π

．…（6分）
根据图象可知：两个函数图象的所有交点个数为5个．（注意：最后两个点非常接近，几乎粘合在一起．）…（7分）
（3）由（2）知f(x)=sin

9π

x，x∈[0，

]，
∴①当a＞1时，不等式log_ax＞sinmx不能成立…（8分）
②当0＜a＜1时，由图（2）可知log_a

＞sin

√2

，∴(

)^√2＜a＜1…（10分）

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必修1 人教A版单选题高中数学

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