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  • 已知函数f（x）=ax2+bx+c，（a，b，c∈R且a≠0）（1）当x=1时有最大值1，若x∈[m，n]，（0＜m＜n）时，函数f（x）的值域为[1n，1m]，证明：f(m)f(n)=nm（2）若b=4，c=-2时，对于给定正实数a有一个最小负数g（a），使得x∈[g（a），0]时，|f（x）|≤4恒成立，问a为何值时，g（a）最小，并求出这个最小值．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=ax2+bx+c，（a，b，c∈R且a≠0）
      （1）当x=1时有最大值1，若x∈[m，n]，（0＜m＜n）时，函数f（x）的值域为[
      1
      n
      ，
      1
      m
      ]，证明：
      f(m)
      f(n)
      =
      n
      m

      （2）若b=4，c=-2时，对于给定正实数a有一个最小负数g（a），使得x∈[g（a），0]时，|f（x）|≤4恒成立，问a为何值时，g（a）最小，并求出这个最小值．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由条件得：a＜0，
      1
      m
      ≤1，即m≥1，
      ∴[m，n]?[1，+∞）∴f（m）=
      1
      m
      ，f(n)=
      1
      n
      ，
      ∴
      f(m)
      f(n)
      =
      n
      m

      （2）f（x）=a（x+
      2
      a
      ，显然f（0）=-2，
      对称轴x=-
      2
      a
      ＜01，当-2-
      4
      a
      ＜-4
      ，即0＜a＜2时，g（a）∈（-
      2
      a
      ，0），且f（g（a））=-4
      令ax      2+4x-2=-4，解得x=
      -2±
      √4-2a
      a
      ，取g(a)=
      -2+
      √4-2a
      a
      =
      -2
      2+
      √4-2a

      ∵0＜a＜2∴g（a）＞-12，当-2-
      4
      a
      ≥-4，即a≥2，g（a）＜-
      2
      a
      ，且f（g（a））=4令ax2+4x-2=4，
      解得x=
      -2±
      √4+6a
      a
      ，取g（a）=
      -2-
      √4+6a
      a
      =
      -6
      √4+6a
      -2

      ∵a≥2，∴g（a）≥-3，当且仅当a=2时取等号．
      综上，当a=2时，g（a）最小值为-3
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      必修1人教A版单选题高中数学

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