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  • 已知函数f（x）=x2+ax+b-2ln（x+1）在x=0处取到极小值1．（Ⅰ）求实数a、b的值及函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若当x∈[-12，e-1]时，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=x2+ax+b-2ln（x+1）在x=0处取到极小值1．
      （Ⅰ）求实数a、b的值及函数f（x）的单调区间；
      （Ⅱ）若当x∈[-
      1
      2
      ，e-1]时，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）x+1＞0得 f（x）的定义域为（-1，+∞）f′(x)=2x+a-
      2
      x+1

      ∵函数f（x）=x      2+ax+b-2ln（x+1）在x=0处取到极小值1．
      ∴f（0）=1，f'（0）=0∴a=2，b=1…（5分）
      ∴f（x）=x      2+2x+1-2ln（x+1）
      f′(x)=2(1+x)-
      2
      1+x
      =2[(1+x)-
      1
      1+x
      ]＞0?
      x2+2x
      1+x
      ＞0?x＞0
      f′(x)=2(1+x)-
      2
      1+x
      =2[(1+x)-
      1
      1+x
      ]＞0?
      x2+2x
      1+x
      ＜0?-1＜x＜0，
      所以f（x）的单调增区间为（0，+∞）；单调减区间（-1，0）． …（10分）
      （Ⅱ）当x∈[-
      1
      2
      ，e-1]时，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．
      令f      ′（x）=0?（1+x）2=1?x=0或x=-2（舍）f(-
      1
      2
      )=
      1
      4
      +2ln2，f（0）=1，f（e-1）=e2-2＞f(-
      1
      2
      )
      ∴当x∈[-
      1
      2
      ，e-1]时，f（x）max=f（e-1）=e2-2
      因此可得：不等式f（x）＜m恒成立时，m＞e      2-2…（15分）
      标签
      必修1人教A版单选题高中数学

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