记函数f（x）=f1（x），f（f（x））=f2（x），它们定义域的交集为D，若对任意的x∈D，f2（x）=x，则称f（x）是集合M的元素，例如f（x）=-x+1，对任意x∈R，f2（x）=f（f（x））=-（-x+1）+1=x，故f（x）=-x+1∈M．（1）设函数f（x）=log2（1-2x），判断f（x）是否是M的元素，并求f（x）的反函数f-1（x）；（2）f(x)=axx+b∈M（a＜0），求使f（x）＜1成立的x的范围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

记函数f（x）=f₁（x），f（f（x））=f₂（x），它们定义域的交集为D，若对任意的x∈D，f₂（x）=x，则称f（x）是集合M的元素，
例如f（x）=-x+1，对任意x∈R，f₂（x）=f（f（x））=-（-x+1）+1=x，故f（x）=-x+1∈M．
（1）设函数f（x）=log₂（1-2^x），判断f（x）是否是M的元素，并求f（x）的反函数f^-1（x）；
（2）f(x)=

x+b

∈M（a＜0），求使f（x）＜1成立的x的范围．

试题解答

见解析

解：（1）∵f(f(x))=log₂(1-2^{log₂(1-2^x)})=log₂(1-1+2^x)=x
∴f（x）=log₂（1-2^x）∈M
设y=log₂（1-2^x）
由0＜1-2^x＜1解得：x＜0，y＜0
由y=log₂（1-2^x）得2^y=1-2^x，反函数为y=log_a（1-a^x），（x＜0）
（2）∵f(x)=

x+b

∈M，
∴f₂（x）=f（f（x））=x对一切定义域中x恒成立．

x+b

=x，
解得：（a+b）x²-（a²-b²）x=0恒成立，故a+b=0
由f（x）＜1，得到

x-a

-1＜0，

(a-1)x+a

x-a

＜0，由a＜0，

1-a

x-a

＞00＞

1-a

＞a，
故x的范围为：x＞

1-a

或 x＜a

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必修1 人教A版单选题高中数学

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