设函数f(x)=a-22x+1，（1）求证：不论a为何实数f（x）总为增函数；（2）确定a的值，使f（x）为奇函数；（3）若不等式f（x）+a＞0恒成立，求实数a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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设函数f(x)=a-

2^x+1

，
（1）求证：不论a为何实数f（x）总为增函数；
（2）确定a的值，使f（x）为奇函数；
（3）若不等式f（x）+a＞0恒成立，求实数a的取值范围．

见解析

解：（1）f（x）的定义域为R，设x₁＜x₂，
则f(x₁)-f(x₂)=a-

2^x₁+1

-a+

2^x₂+1

2?(2^x₁-2^x₂)

(1+2^x₁)(1+2^x₂)

，
∵x₁＜x₂，∴2^x₁-2^x₂＜0，(1+2^x₁)(1+2^x₂)＞0，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），所以不论a为何实数f（x）总为增函数．

（2）∵f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x），即a-

2^-x+1

=-a+

2^x+1

，
解得：a=1．∴f(x)=1-

2^x+1

.
（3）∵2^x+1＞1，∴0＜

2^x+1

＜2，
∵f(x)=a-

2^x+1

，∴f（x）+a＞0可化为2a-

2^x+1

＞0，
即2a＞

2^x+1

．故要使f（x）+a＞0恒成立，只须2a≥2，
即a≥1．

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