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  • 已知函数f(x)=√x，g（x）=x+a（a＞0）（1）求a的值，使点M（f（x），g（x））到直线x+y-1=0的最短距离为√2；（2）若不等式|f(x)-ag(x)f(x)|≤1在x∈[1，4]恒成立，求a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=
      √x
      ，g（x）=x+a（a＞0）
      （1）求a的值，使点M（f（x），g（x））到直线x+y-1=0的最短距离为
      √2
      ；
      （2）若不等式|
      f(x)-ag(x)
      f(x)
      |≤1在x∈[1，4]恒成立，求a的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由题意得M到直线的距离d=
      |
      √x
      +x+a-1|
      √2
      ，令t=
      √x
      ≥0
      则d=
      |t2+t+a-1|
      √2
      =
      |(t+
      1
      2
      )2+a-
      5
      4
      |
      √2

      ∵t≥0∴a≥1时，
      |(t+
      1
      2
      )2+a-
      5
      4
      |
      √2
      ≥
      a-1
      √2

      即t=0时，      dmin=
      a-1
      √2
      =
      √2
      ∴a=30＜a＜1时，dmin=0，不合题意
      综上a=3（6分）
      （2）由|
      f(x)-ag(x)
      f(x)
      |≤1?-1≤
      f(x)-ag(x)
      f(x)
      ≤1?0≤
      ag(x)
      f(x)
      ≤2
      即
      ax+a2
      √x
      ≤2在 [ 1 ， 4 ]上恒成立
      也就是ax+a      2≤2
      √x
      在[1，4]上恒成立
      令
      √x
      =t≥0，且x=t2，t∈[1，2]
      由题意at      2-2t+a2≤0在t∈[1，2]上恒成立
      设?（t）=at      2-2t+a2，则要使上述条件成立，只需
      {
      ?(1)=a-2+a2≤0
      ?(2)=a2+4a-4≤0
      ?0＜a≤2 (
      √2
      -1)
      即满足条件的a的取值范围是( 0 ， 2
      √2
      -2 ]（13分）
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