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  • 探究函数f(x)=x+4x，x∈(0，+∞)的最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如下： x 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7 y 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.02 4.04 4.3 5 5.8 7.57 请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．（1）写出f(x)=x+4x，x∈(0，+∞)的单调区间；（2）证明：函数f(x)=x+4x(x＞0)在区间（0，2）单调递减；（3）若不等式2x-2k≤1-8x对x＜0恒成立，求实数k的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      探究函数f(x)=x+
      4
      x
      ，x∈(0，+∞)的最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如下：
      x 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7
      y 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.02 4.04 4.3 5 5.8 7.57
      请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．
      （1）写出f(x)=x+
      4
      x
      ，x∈(0，+∞)的单调区间；
      （2）证明：函数f(x)=x+
      4
      x
      (x＞0)在区间（0，2）单调递减；
      （3）若不等式2x-2k≤1-
      8
      x
      对x＜0恒成立，求实数k的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由表格数据可知当0＜x＜2时，函数单调递减，当x＞2时函数单调递增，
      即f(x)=x+
      4
      x
      ，x∈(0，+∞)的单调递增区间为[2，+∞），递减区间为（0，2]；
      （2）证明：函数f(x)=x+
      4
      x
      (x＞0)在区间（0，2）单调递减；
      设0＜x      1＜x2＜2，
      则f(x      1)-f(x2)=x1+
      4
      x1
      -x2-
      4
      x2
      =(x1-x2)+
      4(x2-x1)
      x1x2
      =(x1-x2)(1-
      4
      x1x2
      )=(x1-x2)?
      x1x2-4
      x1x2
      ，
      ∵0＜x      1＜x2＜2，
      ∴x      1-x2＜0，x1x2-4＜0，
      ∴f(x      1)-f(x2)=(x1-x2)?
      x1x2-4
      x1x2
      ＞0，
      即f（x      1）-f（x2）＞0，
      ∴f（x      1）＞f（x2），
      即函数f(x)=x+
      4
      x
      (x＞0)在区间（0，2）单调递减．
      （3）若不等式2x-2k≤1-
      8
      x
      对x＜0恒成立，
      则等价为2x+
      8
      x
      ≤1+2k，
      即x+
      4
      x
      ≤
      1+2k
      2
      ，
      设g（x）=x+
      4
      x
      ，
      则g（x）在{x|x≠0}上为奇函数，
      ∴根据奇函数的对称性可知，函数在（-∞，-1）上单调递增，在（-1，0）上单调递减，
      ∴当x＜0时，函数的最大值为g（-1）=-1-4=-5，
      ∴要使x+
      4
      x
      ≤
      1+2k
      2
      恒成立，
      则
      1+2k
      2
      ≥-5，
      解得k≥-
      11
      2
      ，
      实数k的取值范围是k≥-
      11
      2
      ．
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